Permutasi Dan Kombinasi
nPengaturan dengan urutan Sering kali kita perlu menghitung banyaknya cara pengaturan obyek tertentu dengan memperhatikan urutan maupun tanpa memperhatikan urutan.
nPermutasi dari suatu himpunan obyek adalah pengaturan yg memperhatikan urutan dari obyek tsb. nPermutasi-r : pengaturan r buah elemen dari suatu himpunan secara terurut. n Contoh. Misal S = {1,2,3}. Maka 3,1,2 adalah suatu permutasi dan 1,3 adalah suatu permutasi-2 dari S. nPermutasi P(n,r) = Banyaknya permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen. Teorema 1. P(n,r) = n(n-1)(n-2) … (n-r+1) Bukti •Ada n cara untuk memilih elemen pertama dari permutasi. •Untuk memilih elemen kedua ada (n-1) cara, karena tinggal n-1 elemen dalam himpunan yang dapat digunakan sebagai elemen kedua. •Dengan cara yg sama, ada (n-2) cara untuk memilih elemen ketiga. •Ada tepat (n-r+1) cara utk memilih elemen ke-r. •Menurut aturan perkalian, P(n,r) = n(n-1)(n-2) … (n-r+1). nDASAR PENGHITUNGAN n|A| : jumlah elemen dalam himpunan A nAturan Penjumlahan: |A| = |S1|+|S2|+|S3|+ . . . . .+|Sn|, dimana himpunan-himpunan bagian (S1, S2,..., Sn) semuanya saling asing nAturan Perkalian: suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah langkah 1 à dengan n1 cara langkah 2 à dengan n2 cara ................ langkah k à dengan nk cara Maka keseluruhan pekerjaan dapat dilakukan dengan: (n1) (n2) (n3).... (nk) cara nDASAR PENGHITUNGAN Contoh 1: Dalam suatu kartu bridge, berapa cara untuk mengambil: a. Sebuah jantung atau sebuah daun b. Sebuah jantung atau kartu As c. Sebuah As atau King d. Sebuah kartu bernomor 2 hingga 10 JAWAB: a. Karena antar gambar kartu adalah saling asing, maka banyak cara mendapatkan = 13 + 13 = 26 cara b. Banyak cara = 13+3 = 16 cara c. Banyak cara = 4+4 = 8 cara d. Banyak cara = 9+9+9+9 = 36 cara nDASAR PENGHITUNGAN Contoh 2: Misal 2 dadu yang berbeda warnanya dilontarkan. Ada berapa cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8 JAWAB: - Cara mendapatkan jumlah angka 4 ada 3 cara - Cara mendapatkan jumlah angka 8 ada 5 cara Sehingga untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8 ada : 3+5 = 8 cara nDASAR PENGHITUNGAN Contoh 3: Jika 2 buah dadu yang berbeda dilontarkan, berapa banyak kemungkinan angka yang muncul? JAWAB: Sebuah dadu mempunyai 6 kemungkinan kemunculan angka-angka, sehingga kalau 2 buah dadu ada: 6*6=36 cara (Jika ada n dadu, ada 6n kemungkinan) nDASAR PENGHITUNGAN Contoh 4: Suatu kode terdiri dari 3 huruf dan diikuti 4 angka, contoh BAC4321. a. Jika baik huruf atau angka dapat diulangi penggunaannya, ada berapa kode berbeda yang dihasilkan b. Bagaimana jika hurufnya saja yang boleh diulang c. Bagaimana jika huruf maupun angka tidak boleh diulang JAWAB: a. Banyak cara = 26*26*26*10*10*10*10 = 263*104 b. Banyak cara = 263*10*9*8 c. Banyak cara = 26*25*24*10*9*8 nDASAR PENGHITUNGAN Contoh 5: Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 2 atau 3 digit dapat dibentuk dengan menggunakan angka-angka 1,3,4,5,6,8 dan 9, jika perulangan tidak diperbolehkan JAWAB: Banyak cara : 7*6 + 7*6*5 cara nPERMUTASI Contoh 6: Dalam suatu kelas ada 20 orang. Berapa cara untuk memilih ketua dan bendahara JAWAB: Banyak cara = 20*19 =380 cara (urutan diperhatikan) (hal ini akan berbeda jika akan dipilih 2 orang wakil kelas, karena urutan tidak diperhatikan) nContoh Ada berapa banyak permutasi dari huruf-huruf ABCDEFGH yang memuat string ABG ? Solusi Karena ABG harus terjadi dalam satu blok maka masalahnya menjadi mencari banyaknya permutasi dari 6 objek, yaitu blok ABG dan huruf C,D,E,F,H. Karena keenam objek tsb dapat terjadi dengan sebarang urutan, maka ada 6! = 720 permutasi dari ABCDEFGH yang memuat ABG. nKombinasi (bentuk khusus permutasi) Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Urutan abc, bca, dan acb dianggap sama dan dihitung sekali. Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya merah (sama) (bola a dan bola b) dan 3 buah kotak. Berapa cara memasukkan bola ke dalam kotak?
nKombinasi (bentuk khusus permutasi) Kombinasi-r dari suatu himpunan adalah pengaturan r buah elemen tanpa memperhatikan urutan dari himpunan tersebut. Contoh 3 Misal S = {1,4,5,6}. Maka, 1,5,6 suatu kombinasi-3 dari S. Sedangkan 4,5 adalah suatu kombinasi-2 dari S. Ada 4 macam kombinasi-2 dari S. C(n,r) : banyaknya kombinasi-r dari himpunan n elemen. nKombinasi Teorema 2 C(n,r) = n!/(n-r)!r!, bila 0 ≤ r ≤ n. Bukti •Permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen dapat diperoleh dengan cara membentuk kombinasi-r dan kemudian mengurutkan elemen pada setiap kombinasi-r tsb (dapat dilakukan dalam P(r,r) cara). •Jadi, P(n,r) = C(n,r).P(r,r) •Ini berarti bahwa C(n,r) = P(n,r)/P(r,r).
Akibat 1. C(n,r) = C(n,n-r). nInterpretasi Kombinasi Kombinasi C(n,r) sama dgn menghitung banyaknya himpunan bagian yg terdiri dari r elemen yg dpt dibentuk dari himpunan dgn n elemen. Misalkan A = {1,2,3} jumlah himpunan bagian dgn 2 elemen yg dpt dibentuk dari himpunan A ada 3 buah. nInterpretasi Kombinasi Kombinasi C(n,r) dpt dipandang sbg cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yg ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting. Misalkan sebuah klub memiliki 25 orang anggota. Ada berapa cara kita dapat memilih 5 orang sebagai panitia. nKombinasi nBentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.
nMisalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola. nC(n, r) sering dibaca "n diambil r", artinya r objek diambil dari n buah objek. nDefinisi 3. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. nInterpretasi Kombinasi nKasus permutasi n3 buah bola berwarna merah (m), biru (b), dan putih (p), akan dimasukkan ke dlm 3 buah kotak (mng2 kotak 1 buah bola). Berapa jumlah urutan berbeda yg mungkin di buat dr penempatan bola ke dlm kotak2 tsbt?. nSama soal pertama tetapi terdapat 6 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yg mungkin di buat dr penempatan bola ke dlm kotak2 tsbt?
nContoh permutasi nBrp banyak ‘kata’ yg terbentuk dr kata BOSAN? nBrp banyak cara mengurutkan nama 25 mhssw? nSebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yg disusun per baris. Tiap baris trdiri 6 t4 kursi. Jika 2 org akan duduk, brp banyak pengaturan t4 duduk yg mungkin pd suatu brs? nBrp banyak string yg dpt di bentuk yg terdr dr 4 huruf berbd & diikuti dgn 3 angka yg berbeda pula? nBrp jml kemungkinan membntk 3 angka dr 5 angka brkut 1,2,3,4,5, jika nTdk blh ada pengulangan angka nBoleh ada pengulangan angka nContoh kombinasi nBerapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk sarapan pagi? nString biner yg panjangnya 32 bit disusun oleh angka 1 dan 0. berapa banyak string biner yg tepat berisi 7 buah bit 1. nSebuah karakter dlm sistem ASCII berukuran 1 byte (1 atau 0). nBerapa banyak pola bit yang terbentuk? nBerapa banyak pola bit yg mempunyai 3 bit 1? nBerapa banyak pola bit yg mempunyai bit 1 sejumlah genap? nContoh kombinasi nSebuah klub beranggotakan 8 pria dan 10 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 6 orang dengan jumlah wanita lebih banyak daripada pria? nContoh soal (kuis dan tugas) nBerapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk sarapan pagi? nString biner yg panjangnya 32 bit disusun oleh angka 1 dan 0. berapa banyak string biner yg tepat berisi 7 buah bit 1. nSebuah karakter dlm sistem ASCII berukuran 1 byte (1 atau 0). nBerapa banyak pola bit yang terbentuk? nBerapa banyak pola bit yg mempunyai 3 bit 1? nBerapa banyak pola bit yg mempunyai bit 1 sejumlah genap? n Nama : Muhammad Alfan NPM : 19316083 Alamat Link Web : Universitas : https://teknokrat.ac.id/ Fakultas : http://ftik.teknokrat.ac.id/ |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar